LA  PARÁBOLA

 

 

En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva  la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

 

 

 

 

Existen dos ecuaciones de la parábola: una con x^2 y la otra con y^2. Si tiene x^2 es una parábola vertical que abre hacia arriba o hacia abajo. Si tiene y^2 es una parábola horizontal que abre a la izquierda o a la derecha.
Antes de ver la ecuación general, hay que recordar las ecuaciones corrientes de ambas:

Vertical: (x-h)^2=4p(y-k) (**)
Horizontal: (y-k)^2=4p(x-h) (***)

En ambas el vértice es (h,k). Si h=k=0 se tiene parábolas colocadas en el origen que es el caso que se enseña primero.
Sus elementos son:

Vertical: Foco (h,p+k), ecuación directriz: y=-p+k, ecuación del eje: x=h
Horizontal: Foco (p+h,k), ecuación directriz: x=-p+h, ecuación del eje: y=k

y estas fórmulas se obtienen a partir de los casos con vértice (0,0) sumando h yk a x e y, respectivamente en los puntos (foco), y restando h y k a x e y en las ecuaciones de la directriz y del eje.
Ahora trataremos la ecuación general de la parábola.

Caso vertical:

Ax^2+Bx+Cy+D=0 donde A y C jamás valen cero.
Modifiquemos esta ecuación hasta obtener la ecuación corriente y así poder sacar sus elementos:

Ax^2+Bx+Cy+D=0 /:A
x^2+B/A*x+C/A*y+D/A=0

Llamaremos B/A=-2h
C/A=-4p
D/A=h^2+4pk

Entonces la ecuación queda, reemplazando

x^2+B/A*x+C/A*y+D/A=0
x^2-2hx-4py+h^2+4pk=0
x^2-2hx+h^2=4py-4pk
(x-h)^2=4p(y-k) que es la ecuación corriente, y se puede sacar los elementos.

Caso horizontal:

Ay^2+Bx+Cy+D=0 donde A y B jamás valen cero.
De igual manera

Ay^2+Bx+Cy+D=0 /:A
y^2+B/A*x+C/A*y+D/A=0

Llamaremos B/A=-4p
C/A=-2k
D/A=k^2+4ph

Entonces la ecuación queda, reemplazando

y^2+B/A*x+C/A*y+D/A=0
y^2-4px-2ky+k^2+4ph=0
y^2-2ky+k^2=4px-4ph
(y-k)^2=4p(x-h) que es la ecuación corriente, y se puede sacar los elementos.

Ejemplos.

1. Dada la curva x^2-6x-16y+41=0, encontrar sus elementos.

Solución.
Como solamente x está al cuadrado se trata de una parábola vertical.
Arreglemos la ecuación para obtener la común:

x^2-6x-16y+41=0 se pasa los términos sin x a la derecha del =
x^2-6x=16y-41 se completa cuadrados:
x^2-2*3*x+3^2=16y-41+3^2
(x-3)^2=16y-41+9
(x-3)^2=16y-32
(x-3)^2=16(y-2) se fabrica un 4
(x-3)^2=4*4(y-2)

comparando con (**) podemos encontrar sus elementos, pues de aquí h=3, p=4 y k=2.
Foco: (h,p+k)=(3,4+2)=(3,6)
Ecuación directriz: y=-p+k
y=-4+2
y=-2
Ecuación del eje: x=h -> x=3