LA  PARÁBOLA

 

 

En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva  la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

 

 

 

 

Existen dos ecuaciones de la parábola: una con x^2 y la otra con y^2. Si tiene x^2 es una parábola vertical que abre hacia arriba o hacia abajo. Si tiene y^2 es una parábola horizontal que abre a la izquierda o a la derecha.
Antes de ver la ecuación general, hay que recordar las ecuaciones corrientes de ambas:

Vertical: (x-h)^2=4p(y-k) (**)
Horizontal: (y-k)^2=4p(x-h) (***)

En ambas el vértice es (h,k). Si h=k=0 se tiene parábolas colocadas en el origen que es el caso que se enseña primero.
Sus elementos son:

Vertical: Foco (h,p+k), ecuación directriz: y=-p+k, ecuación del eje: x=h
Horizontal: Foco (p+h,k), ecuación directriz: x=-p+h, ecuación del eje: y=k

y estas fórmulas se obtienen a partir de los casos con vértice (0,0) sumando h yk a x e y, respectivamente en los puntos (foco), y restando h y k a x e y en las ecuaciones de la directriz y del eje.
Ahora trataremos la ecuación general de la parábola.

Caso vertical:

Ax^2+Bx+Cy+D=0 donde A y C jamás valen cero.
Modifiquemos esta ecuación hasta obtener la ecuación corriente y así poder sacar sus elementos:

Ax^2+Bx+Cy+D=0 /:A
x^2+B/A*x+C/A*y+D/A=0

Llamaremos B/A=-2h
C/A=-4p
D/A=h^2+4pk

Entonces la ecuación queda, reemplazando

x^2+B/A*x+C/A*y+D/A=0
x^2-2hx-4py+h^2+4pk=0
x^2-2hx+h^2=4py-4pk
(x-h)^2=4p(y-k) que es la ecuación corriente, y se puede sacar los elementos.

Caso horizontal:

Ay^2+Bx+Cy+D=0 donde A y B jamás valen cero.
De igual manera

Ay^2+Bx+Cy+D=0 /:A
y^2+B/A*x+C/A*y+D/A=0

Llamaremos B/A=-4p
C/A=-2k
D/A=k^2+4ph

Entonces la ecuación queda, reemplazando

y^2+B/A*x+C/A*y+D/A=0
y^2-4px-2ky+k^2+4ph=0
y^2-2ky+k^2=4px-4ph
(y-k)^2=4p(x-h) que es la ecuación corriente, y se puede sacar los elementos.

Ejemplos.

1. Dada la curva x^2-6x-16y+41=0, encontrar sus elementos.

Solución.
Como solamente x está al cuadrado se trata de una parábola vertical.
Arreglemos la ecuación para obtener la común:

x^2-6x-16y+41=0 se pasa los términos sin x a la derecha del =
x^2-6x=16y-41 se completa cuadrados:
x^2-2*3*x+3^2=16y-41+3^2
(x-3)^2=16y-41+9
(x-3)^2=16y-32
(x-3)^2=16(y-2) se fabrica un 4
(x-3)^2=4*4(y-2)

comparando con (**) podemos encontrar sus elementos, pues de aquí h=3, p=4 y k=2.
Foco: (h,p+k)=(3,4+2)=(3,6)
Ecuación directriz: y=-p+k
y=-4+2
y=-2
Ecuación del eje: x=h -> x=3






















 

matemáticas  es  una  de  las  materias  mas  importantes  que podemos  conocer  

¿matemáticas? y ahora.........

MATEMÁTICAS   3 semestre


**1 parcial**

lo  primero  que  se  verá  es ¿cuales  son  las  partes  de  un  plano  cartesiano?.

*son  dos  lineas  perpendiculares , la horizontal  se llama  eje  de  las  abcisas, y  la  vertical   es  la eje  de  las ordenadas.

un   ejemplo es:

lugar  geometrico:

es  la  region  de  espacio delimitada  por un  conjuntos  de  puntos, que satisface  a  una  determinada  expresion  matematica.


hallar  el  lugar  geometrico   de:

                                           Introduccion  a geométria  analítica




La geometría analítica estudia las figuras geométricas  mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra  en un determinado sistema de coordenadas.  Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.
Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar  geometrico de los puntos que verifican dicha ecuaión.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo , donde es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, ), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia , la hipérbola ), etc.









                                                           ecuaciones  de  punto  medio




Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.
Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.



Dado un segmento, cuyos extremos tienen por coordenadas:

el punto medio tendrá por coordenadas:

.

 

                                                                       Punto,  punto

Punto (x1, y1) y (x2, y2)

Formula para encontrar la ecuación de la recta teniendo 2 puntos:

x-x1 / x2 - x1 = y - y1 / y2 - y1

En ésta fórmula reemplazas los puntos, operas y despejas hasta obtener la forma general de la recta:
y = mx +b

            
                                                               punto  pendiente


Sea un punto de una recta y su pendiente, entonces su ecuación viene dada por:
expresión que se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.

 

 

 

 

La pendiente en las ecuaciones de la recta

Representación gráfica.

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de puede ser interpretado como el punto donde la recta se intersecta con el eje Y, es decir, el valor de cuando . Este valor también es llamado coordenada de origen.

Si la pendiente de una recta y el punto de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

está dada por: